Prinsip Dualitas - Matematika Diskrit TI 16-B

Prinsip dualitas mengemukakan bahwa dua konsep yang berbeda dapat dipertukarkan namun tetap memberikan jawaban yang benar.

Contoh prinsip dualitas :
AS => kemudi mobil di kiri depan
Indonesia => kemudi mobil di kanan depan

Peraturan:
(a) di Amerika Serikat,

• mobil harus berjalan di bagian kanan jalan,
• pada jalan yang berlajur banyak, lajur kiri untuk mendahului,
• bila lampu merah menyala, mobil belok kanan boleh langsung

(b) di Indonesia,

• mobil harus berjalan di bagian kiri jalan,
• pada jalur yang berlajur banyak, lajur kanan untuk mendahului,
• bila lampu merah menyala, mobil belok kiri boleh langsung

Prinsip dualitas pada kasus diatas adalah:

Konsep kiri dan kanan dapat dipertukarkan pada kedua negara tersebut sehingga peraturan yang berlaku di Amerika Serikat menjadi berlaku pula di Inggris.

(Prinsip Dualitas pada Himpunan). Misalkan S adalah suatu kesamaan (identity) yang melibatkan himpunan dan operasi-operasi seperti ∪, ∩, dan komplemen. Jika S* merupakan kesamaan yang berupa dual dari S maka dengan mengganti ∪ → ∩, ∩ → ∪, ∅ → U, U → ∅, sedangkan komplemen dibiarkan seperti semula, maka operasi-operasi tersebut pada kesamaan S* juga benar.

Tabel Dualitas dari Hukum Aljabar Himpunan

Contoh prinsip dualitas :

Misalkan A ∈ U dimana A = (A ∩ B) ∪ (A ∩ B), maka pada dualnya, misalkan U*, berlaku :

A = (A ∪ B) ∩ (A ∪ B)

Dalam membuktikan kebenaran suatu pernyataan atau merepresentasikan suatu pernyataan dengan cara lain dengan menggunakan bantuan himpunan ada beberapa cara, antara lain :

A. Pembuktian dengan menggunakan diagram Venn

Contoh pembuktian menggunakan diagram venn
Misalkan A, B, dan C adalah himpunan.
Tunjukan bahwa A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) dengan diagram Venn

Jawab :

Cara ini dilakukan bukan dalam pembuktian formal, dengan menggambarkan sejumlah himpunan yang diketahui dan mengarsir setiap operasi yang diinginkan secara bertahap, sehingga diperoleh himpunan hasil operasi secara keseluruhan.

Kedua digaram Venn memberikan area arsiran yang sama.
Terbukti bahwa A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C).

B. Pembuktian dengan menggunakan aljabar himpunan

Contoh 1:
Misalkan A dan B himpunan. Tunjukan bahwa A ∪ (B – A) = A ∪ B

Jawab 1:
A ∪ (B – A) = A ∪ (B ∩ Ā)                      (Definisi operasi selisih)
                     = (A ∪ B) ∩ (A ∪ Ā)        (Hukum distributif)
                     = (A ∪ B) ∩ U              (Hukum komplemen)
                     = A ∪ B                     (Hukum identitas)

Contoh 2:
Tunjukan bahwa untuk sembarang himpunan A dan B, berlaku;

a. A ∪ (A ∩ B) = A ∪ B dan

b. A ∩ (A ∪ B) = A ∩ B

Jawab 2:
a. A ∪ (A ∩ B)  = ( A ∪ A) ∩ (A ∪ B)          (H. distributif)
                          = U ∩ (A ∪ B)                (H. komplemen)
                          = A ∪ B                    (H. identitas)

(b) adalah dual dari (a)

b. A ∩ (A ∪ B) = (A ∩ A) ∪ (A ∩ B)        (H. distributif)
                          = ∅ ∪ (A ∩ B)              (H. komplemen)
                          = A ∩ B                   (H. identitas)

SUMBER